Question

7．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（　�。�

• A． y=-$\frac{1}{x}$
• B． y=ln（x+5）
• C． y=x²-1
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性便可判斷出A，B，C都錯(cuò)誤，從而得出D正確．

解答 解：A.$y=-\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)沒有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．y=ln（x+5）的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．y=x²-1是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．設(shè)y=f（x），f（x）定義域?yàn)镽，且f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
$f（x）=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且0²=-0²；
∴f（x）在定義域R上是增函數(shù)，∴該選項(xiàng)正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查反比例函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性，熟悉對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，熟悉平移變換，以及奇函數(shù)的定義，含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷．