Question

18．對于定義在R上的函數(shù)f（x），如果存在實數(shù)a，使得f（a+x）•f（a-x）=1對任意實數(shù)x∈R恒成立，則稱f（x）為關于a的“倒函數(shù)”．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是關于0和1的“倒函數(shù)”，且當x∈[0，1]時，f（x）的取值范圍為[1，2]，則當x∈[-2016，2016]時，f（x）的取值范圍為（　�。�

• A． [1，2]
• B． $[\frac{1}{2}，2]$
• C． $[\frac{1}{2}，2016]$
• D． R

Answer 1

分析 根據(jù)“倒函數(shù)”的定義，建立兩個方程關系，根據(jù)方程關系判斷函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性和函數(shù)的關系進行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：若函數(shù)f（x）是關于0和1的“倒函數(shù)”，
則f（x）•f（-x）=1，則f（x）≠0，
且f（1+x）•f（1-x）=1，
即f（2+x）•f（-x）=1，
即f（2+x）•f（-x）=1=f（x）•f（-x），
則f（2+x）=f（x），
即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
若x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，2-x∈[1，2]，此時1≤f（x）≤2
∵f（x）•f（-x）=1，
∴f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∵f（-x）=f（2-x）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴當x∈[1，2]時，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]．
即一個周期內(nèi)當x∈[0，2]時，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，2]．
∴當x∈[-2016，2016]時，f（x）∈[$\frac{1}{2}$，2]．
故選：B．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，根據(jù)“倒函數(shù)”，的定義建立方程關系判斷函數(shù)的周期性是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．