Question

15．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²-2ax+1．
（Ⅰ）若a≤2，求f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值m（a）；
（Ⅱ）記g（x）=f（x）+|x-a|，若g（x）在[1，2]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)函數(shù)配方得f（x）=（x-a）²+1-a²，可得對(duì)稱軸方程為x=a．只需對(duì)對(duì)稱軸a進(jìn)行分類討論即可；
（Ⅱ）根據(jù)問(wèn)1，對(duì)a分類討論：當(dāng)a＜1時(shí)，由（Ⅰ）知，f（x）≥2-2a＞0，得出g（x）＞0，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=（x-1）²+|x-1|在[1，2]上恰有一個(gè)零點(diǎn)x=1；當(dāng)1＜a＜2時(shí)，去絕對(duì)值，利用對(duì)稱軸得出分段函數(shù)單調(diào)性，解出$1＜a≤\frac{7}{5}$；當(dāng)a≥2時(shí)，去絕對(duì)值，討論函數(shù)單調(diào)性，判斷g（x）＜0在[1，2]上恒成立，即此時(shí)沒有零點(diǎn)．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x-a）²+1-a²，對(duì)稱軸方程為x=a．     …（1分）
（1）當(dāng)1≤a≤2時(shí)，m（a）=f（a）=1-a²．                …（3分）
（2）當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是單調(diào)遞增，
所以m（a）=f（1）=2-2a．                            …（5分）
綜上所述：$m（a）=\left\{\begin{array}{l}1-{a^2}{，_{\;}}1≤a≤2\\ 2-2a，a＜1.\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)a＜1時(shí)，由（Ⅰ）知，f（x）≥2-2a＞0，
從而g（x）＞0，此時(shí)g（x）在[1，2]上沒有零點(diǎn)．               …（8分）
（2）當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=（x-1）²+|x-1|在[1，2]上恰有一個(gè)零點(diǎn)x=1．…（9分）
（3）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，$g（x）={x^2}-2ax+1+|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-（2a+1）x+1+a{，_{\;}}1≤x≤a\\{x^2}-（2a-1）x+1-a，a＜x≤2.\end{array}\right.$…（10分）
由$1＜\frac{2a+1}{2}＜a$，$\frac{2a-1}{2}＜a$知g（x）在$[{1，\frac{2a+1}{2}}]$上單調(diào)遞減，在$[{\frac{2a+1}{2}，2}]$單調(diào)遞增．
又g（1）=1-a＜0，所以要使得g（x）在[1，2]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，
只需g（2）=7-5a≥0，解得$a≤\frac{7}{5}$，所以$1＜a≤\frac{7}{5}$．         …（12分）
（4）當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）=x²-2ax+1+|x-a|=x²-（2a+1）x+1+a
由$\frac{2a+1}{2}＞2$知g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減．
又g（1）=1-a＜0，所以g（x）＜0在[1，2]上恒成立，即此時(shí)沒有零點(diǎn)．
綜上所述，$1≤a≤\frac{7}{5}$．                                 …（14分）

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的分類討論和絕對(duì)值函數(shù)的分類討論，難點(diǎn)較大．