15.已知a∈R,函數(shù)f(x)=x2-2ax+1.
(Ⅰ)若a≤2,求f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值m(a);
(Ⅱ)記g(x)=f(x)+|x-a|,若g(x)在[1,2]上恰有一個零點,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)對函數(shù)配方得f(x)=(x-a)2+1-a2,可得對稱軸方程為x=a.只需對對稱軸a進行分類討論即可;
(Ⅱ)根據(jù)問1,對a分類討論:當a<1時,由(Ⅰ)知,f(x)≥2-2a>0,得出g(x)>0,無零點;當a=1時,g(x)=(x-1)2+|x-1|在[1,2]上恰有一個零點x=1;當1<a<2時,去絕對值,利用對稱軸得出分段函數(shù)單調(diào)性,解出$1<a≤\frac{7}{5}$;當a≥2時,去絕對值,討論函數(shù)單調(diào)性,判斷g(x)<0在[1,2]上恒成立,即此時沒有零點.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=(x-a)2+1-a2,對稱軸方程為x=a.     …(1分)
(1)當1≤a≤2時,m(a)=f(a)=1-a2.                …(3分)
(2)當a<1時,f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞增,
所以m(a)=f(1)=2-2a.                            …(5分)
綜上所述:$m(a)=\left\{\begin{array}{l}1-{a^2}{,_{\;}}1≤a≤2\\ 2-2a,a<1.\end{array}\right.$…(6分)
(Ⅱ)(1)當a<1時,由(Ⅰ)知,f(x)≥2-2a>0,
從而g(x)>0,此時g(x)在[1,2]上沒有零點.               …(8分)
(2)當a=1時,g(x)=(x-1)2+|x-1|在[1,2]上恰有一個零點x=1.…(9分)
(3)當1<a<2時,$g(x)={x^2}-2ax+1+|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-(2a+1)x+1+a{,_{\;}}1≤x≤a\\{x^2}-(2a-1)x+1-a,a<x≤2.\end{array}\right.$…(10分)
由$1<\frac{2a+1}{2}<a$,$\frac{2a-1}{2}<a$知g(x)在$[{1,\frac{2a+1}{2}}]$上單調(diào)遞減,在$[{\frac{2a+1}{2},2}]$單調(diào)遞增.
又g(1)=1-a<0,所以要使得g(x)在[1,2]上恰有一個零點,
只需g(2)=7-5a≥0,解得$a≤\frac{7}{5}$,所以$1<a≤\frac{7}{5}$.         …(12分)
(4)當a≥2時,g(x)=x2-2ax+1+|x-a|=x2-(2a+1)x+1+a
由$\frac{2a+1}{2}>2$知g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減.
又g(1)=1-a<0,所以g(x)<0在[1,2]上恒成立,即此時沒有零點.
綜上所述,$1≤a≤\frac{7}{5}$.                                 …(14分)

點評 考查了二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的分類討論和絕對值函數(shù)的分類討論,難點較大.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

5.設直線l1:x+my+6=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0,當m=-1時,l1∥l2,當m=$\frac{1}{2}$時,l1⊥l2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3,4},則(∁UA)∩B( 。
A.{1}B.{2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.已知數(shù)列{an}滿足${a_1}=6,{a_{n+1}}=4-\frac{4}{a_n}(n$為正整數(shù)).
(Ⅰ)求證:數(shù)列$\{\frac{{{a_n}+2}}{{{a_n}-2}}\}$為等差數(shù)列;
(Ⅱ)若${b_n}=\frac{a_n}{{{{(2n+1)}^2}}}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.在區(qū)間D上,若函數(shù)y=f(x)為增函數(shù),而函數(shù)$y=\frac{f(x)}{x}$為減函數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)為區(qū)間D上的“弱增”函數(shù).則下列函數(shù)中,在區(qū)間[1,2]上不是“弱增”函數(shù)的為( 。
A.$g(x)=\sqrt{x}$B.$g(x)=\sqrt{x+4}$C.g(x)=x2+1D.g(x)=x2+4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

20.已知平面直角坐標系內(nèi)三點A,B,C在一條直線上,滿足$\overrightarrow{OA}$=(-2,m),$\overrightarrow{OB}$=(n,1),$\overrightarrow{OC}$=(5,-1),且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$,其中O為坐標原點.
(1)求實數(shù)m,n的值;
(2)設△OAC的垂心為G,且$\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OG}$,試求∠AOC的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.下列函數(shù)在其定義域內(nèi),既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為( 。
A.y=-$\frac{1}{x}$B.y=ln(x+5)C.y=x2-1D.y=x|x|

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn,an,2成等差數(shù)列.
(I)證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{5}}+$…$+\frac{1}{{a}_{2n-1}}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

5.若(nx2-$\frac{1}{mx}$)9(m,n∈R)的展開式中x9的系數(shù)是-$\frac{21}{2}$,則m+n的最小值-$\frac{1}{8}$.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案