分析 (Ⅰ)對函數(shù)配方得f(x)=(x-a)2+1-a2,可得對稱軸方程為x=a.只需對對稱軸a進行分類討論即可;
(Ⅱ)根據(jù)問1,對a分類討論:當a<1時,由(Ⅰ)知,f(x)≥2-2a>0,得出g(x)>0,無零點;當a=1時,g(x)=(x-1)2+|x-1|在[1,2]上恰有一個零點x=1;當1<a<2時,去絕對值,利用對稱軸得出分段函數(shù)單調(diào)性,解出$1<a≤\frac{7}{5}$;當a≥2時,去絕對值,討論函數(shù)單調(diào)性,判斷g(x)<0在[1,2]上恒成立,即此時沒有零點.
解答 解:(Ⅰ)f(x)=(x-a)2+1-a2,對稱軸方程為x=a. …(1分)
(1)當1≤a≤2時,m(a)=f(a)=1-a2. …(3分)
(2)當a<1時,f(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)遞增,
所以m(a)=f(1)=2-2a. …(5分)
綜上所述:$m(a)=\left\{\begin{array}{l}1-{a^2}{,_{\;}}1≤a≤2\\ 2-2a,a<1.\end{array}\right.$…(6分)
(Ⅱ)(1)當a<1時,由(Ⅰ)知,f(x)≥2-2a>0,
從而g(x)>0,此時g(x)在[1,2]上沒有零點. …(8分)
(2)當a=1時,g(x)=(x-1)2+|x-1|在[1,2]上恰有一個零點x=1.…(9分)
(3)當1<a<2時,$g(x)={x^2}-2ax+1+|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-(2a+1)x+1+a{,_{\;}}1≤x≤a\\{x^2}-(2a-1)x+1-a,a<x≤2.\end{array}\right.$…(10分)
由$1<\frac{2a+1}{2}<a$,$\frac{2a-1}{2}<a$知g(x)在$[{1,\frac{2a+1}{2}}]$上單調(diào)遞減,在$[{\frac{2a+1}{2},2}]$單調(diào)遞增.
又g(1)=1-a<0,所以要使得g(x)在[1,2]上恰有一個零點,
只需g(2)=7-5a≥0,解得$a≤\frac{7}{5}$,所以$1<a≤\frac{7}{5}$. …(12分)
(4)當a≥2時,g(x)=x2-2ax+1+|x-a|=x2-(2a+1)x+1+a
由$\frac{2a+1}{2}>2$知g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減.
又g(1)=1-a<0,所以g(x)<0在[1,2]上恒成立,即此時沒有零點.
綜上所述,$1≤a≤\frac{7}{5}$. …(14分)
點評 考查了二次函數(shù)區(qū)間內(nèi)單調(diào)性的分類討論和絕對值函數(shù)的分類討論,難點較大.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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A. | {1} | B. | {2} | C. | {3,4} | D. | {1,2,3,4} |
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A. | $g(x)=\sqrt{x}$ | B. | $g(x)=\sqrt{x+4}$ | C. | g(x)=x2+1 | D. | g(x)=x2+4 |
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A. | y=-$\frac{1}{x}$ | B. | y=ln(x+5) | C. | y=x2-1 | D. | y=x|x| |
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