Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n且滿(mǎn)足2S_n=pa_n-2n，n∈N^*，其中常數(shù)p＞2．
（1）求證：{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）若a₂=3，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n＞1時(shí)利用2a_n=2S_n-2S_n-1計(jì)算、整理可知（p-2）a_n-pa_n-1-2=0，變形可知a_n+1=$\frac{p}{p-2}$（a_n-1+1），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+1}是以首項(xiàng)、公比均為$\frac{p}{p-2}$的等比數(shù)列；
（2）通過(guò)（1）可知a_n+1=$（\frac{p}{p-2}）^{n}$，利用a₂=3可知p=4，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 （1）證明：依題意，當(dāng)n＞1時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1
=pa_n-2n-[pa_n-1-2（n-1）]
=pa_n-pa_n-1-2，
∴（p-2）a_n-pa_n-1-2=0，
整理得：a_n+1=$\frac{p}{p-2}$（a_n-1+1），
又∵2S₁=pa₁-2，即a₁=$\frac{2}{p-2}$，
∴a₁+1=$\frac{2}{p-2}$+1=$\frac{p}{p-2}$，
∴數(shù)列{a_n+1}是以首項(xiàng)、公比均為$\frac{p}{p-2}$的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知a_n+1=$（\frac{p}{p-2}）^{n}$，
又∵a₂=3，
∴a₂+1=$（\frac{p}{p-2}）^{2}$=4，
∴$\frac{p}{p-2}$=±2，
解得：p=4或$\frac{4}{3}$（舍），
∴$\frac{p}{p-2}$=2，a_n+1=2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的判定及數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．