Question

由部分實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A滿足：①任意兩個元素之和在A中；②任意兩個元素之積也在A中；③任意一個元素的n次方仍在A中（n屬于正整數(shù)），則符合條件的集合有

 

個．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：

分析：根據(jù)條件①分別從元素個數(shù)上進(jìn)行判斷，分別驗(yàn)證條件②③是否滿足即可得到結(jié)論．

解答： 解：若集合A含有兩個元素a，b，即{a，b}，
若滿足①，則a+b=a，或a+b=b，
解得b=0或a=0．
當(dāng)b=0時，集合A={0，a}，滿足條件②，若滿足條件③，則有aⁿ=0或aⁿ=a，解得a=0（舍去）或a=1，此時集合A={0，1}．
同理當(dāng)a=0時，解得b=1，此時集合A={0，1}．
若集合A含有3個元素a，b，c，即{a，b，c}，
由上面證明可知若滿足①，當(dāng)a+b=a，或a+b=b，時，解得a=0，b=1，此時A={0，1，c}，
若c+1=0，即c=-1，此時集合A={0，-1，1}滿足條件①②③，
若c+1=1，解得c=0，此時集合A={0，0，1}不成立，
若c+1=c，此時c無解，此時滿足條件的集合A={1，0，-1}．
若集合A中含有的元素大于3，則根據(jù)集合元素加法的不封閉性可知，此時不存在滿足條件的集合A．
故滿足條件的集合A={0，1}，或{1，0，-1}．共2個．
 故答案為：2．

點(diǎn)評：本題主要考查元素和集合關(guān)系的判斷，考查學(xué)生的推理能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．