Question

13．設(shè){a_n}是公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)積為T(mén)_n，并滿(mǎn)足條件a₁＞1，a₉₉a₁₀₀-1＞0，$\frac{{{a_{99}}-1}}{{{a_{100}}-1}}＜0$，給出下列結(jié)論：
①0＜q＜1②a₉₉a₁₀₁＜1③T₁₉₈＜1④使T_n＜1成立的最小自然數(shù)n等于199．
其中正確的編號(hào)為①②④．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．

解答 解：∵a₉₉a₁₀₀-1＞0，∴a₁²•q¹⁹⁷＞1，
∴（a₁•q⁹⁸）²＞1，
∵a₁＞1，∴q＞0，
又∵$\frac{{{a_{99}}-1}}{{{a_{100}}-1}}＜0$，∴a₉₉＞1，a₁₀₀＜1．
∴0＜q＜1，即①正確
∵a₉₉a₁₀₁=a₁₀₀²＜1∴②正確；
又∵T₁₉₈=a₁¹⁹⁸•q^1+2+…+197=（a₉₉•a₁₀₀）⁹⁹＞1，∴③不正確；
滿(mǎn)足Tn=a1•${q}^{\frac{n-1}{2}}$＜1的最小自然數(shù)n滿(mǎn)足$\frac{n-1}{2}$=99，即n=199，∴④正確．
∴正確的為①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)、運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．