Question

18．（1）已知$tan（α+β）=\frac{2}{5}，tan（β-\frac{π}{4}）=\frac{1}{4}$，求 $\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$的值；
（2）已知α，β均為銳角，且$cos（α+β）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\;，\;\;sin（α-β）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，求2β；
（3）對于解決已知三角函數(shù)值求另一三角函數(shù)值的問題一般從哪些方面入手才有可能找到解決方法，請寫出3種．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正切公式求得tanα、tanβ的值，可得要求式子的值．
（2）由條件求得sin（α+β）和cos（α-β）的值，可得cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]的值．
（3）已知三角函數(shù)值求另一三角函數(shù)值的問題一般從三個方面入手才有可能找到解決方法．

解答 解：（1）∵$tan（α+β）=\frac{2}{5}，tan（β-\frac{π}{4}）=\frac{1}{4}$，∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{2}{5}$，且$\frac{tanβ-1}{1+tanβ}$=$\frac{1}{4}$，
求得tanα=-$\frac{19}{25}$，tanβ=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=$\frac{3}{22}$．
（2）已知α，β均為銳角，且$cos（α+β）=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\;，\;\;sin（α-β）=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，∴sin（α+β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
cos（α-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴2β=$\frac{π}{4}$．
（3）對于解決已知三角函數(shù)值，求另一三角函數(shù)值的問題，
應(yīng)用平方關(guān)系確定符號是個難點，一般從一下三個方面入手才有可能找到解決方法：
①若已知角α的某一三角函數(shù)的值以及α所在的象限，則由角α所在的象限確定符號．
②若已知角α的某一三角函數(shù)的值，則分類討論角α所在的象限．
③若已知角α的某一三角函數(shù)的值含有字母時，開方時，應(yīng)分類討論．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換，屬于中檔題．