Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=1，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥PC；
（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面PBD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由等腰三角形性質(zhì)得AE⊥PB，由線面垂直得PA⊥BC，從而得到BC⊥平面PAB，所以AE⊥BC，從而得到AE⊥平面PBC，由此能證明AE⊥PC．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A到平面PBD的距離為d，利用等積法能求出點(diǎn)A到平面PBD的距離為

3

3

．

解答： （本小題12分）
（Ⅰ）證明：∵AP=AB，E是PB的中點(diǎn)，∴AE⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC且PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，
∴AE⊥BC，∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)A到平面PBD的距離為d，利用體積法，
VP-ABD=VA-PBD⇒

1

3

S△ABD•PA=

1

3

S△PBD•d⇒d=

3

3

，
∴點(diǎn)A到平面PBD的距離為

3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．