Question

15．設(shè)定義在（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=6．方程f（x）-f'（x）=4在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有解（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （2，3）
• D． （3，4）

Answer 1

分析 由題意可得f（x）-log2x為定值，設(shè)為t，代入可得t=4，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，化方程有解為函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log2x-1xln2有零點(diǎn)，結(jié)合F（1）＜0，F(xiàn)（2）＞0，由零點(diǎn)存在性定理得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
設(shè)x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個(gè)解，
∴x₀是函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-$\frac{1}{xln2}$的零點(diǎn)，
∵F（1）=-$\frac{1}{in2}$＜0，F(xiàn)（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$=1-$\frac{1}{ln4}$＞0，
∴函數(shù)F（x）的零點(diǎn)介于（1，2）之間，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，是中檔題．