Question

5．已知數(shù)列{$\frac{1}{{2}^{n}}$+a_n}的前n項和為S_n=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n．

Answer 1

分析 通過$\frac{1}{{2}^{n}}$+a_n=S_n-S_n-1計算可知：a_n=n（n≥2），驗證a₁=1亦滿足上式即可．

解答 解：∵S_n=$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴當n≥2時，$\frac{1}{{2}^{n}}$+a_n=S_n-S_n-1
=（$\frac{{n}^{2}+n+2}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）+2}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=n，
又∵$\frac{1}{2}$+a₁=S₁=$\frac{1+1+2}{2}$$-\frac{1}{2}$，
即a₁=1亦滿足上式，
∴a_n=n，
故答案為：n．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．