Question

8．已知點P₁（-2，3），P₂（0，1），圓C是以P₁P₂的中點為圓心，$\frac{1}{2}$|P₁P₂|為半徑的圓．
（Ⅰ）若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是圓C外一點，從P向圓C引切線PM，M為切點，O為坐標(biāo)原點，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心與半徑，可得圓C的方程，再分類討論，設(shè)出切線方程，利用直線是切線建立方程，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）先確定P的軌跡方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

解答 解：（Ⅰ）∵點P₁（-2，3），P₂（0，1），圓C是以P₁P₂的中點為圓心，$\frac{1}{2}$|P₁P₂|為半徑的圓
∴C（-1，2），$\frac{1}{2}$|P₁P₂|=$\sqrt{2}$
∴圓C的方程為（x+1）²+（y-2）²=2，
當(dāng)切線過原點時，設(shè)切線方程為y=kx，則$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=2±$\sqrt{6}$，即切線方程為y=（2±$\sqrt{6}$）x．
當(dāng)切線不過原點時，設(shè)切線方程為x+y=a，則$\frac{|-1+2-a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴a=-1或a=3，即切線方程為x+y+1=0或x+y-3=0．
綜上知，切線方程為y=（2±$\sqrt{6}$）x或x+y+1=0或x+y-3=0；
（Ⅱ）因為|PO|²+r²=|PC|²，所以x₁²+y₁²+2=（x₁+1）²+（y₁-2）²，即2x₁-4y₁+3=0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
當(dāng)直線PO垂直于直線2x-4y+3=0時，即直線PO的方程為2x+y=0時，|PM|最小，
此時P點即為兩直線的交點，得P點坐標(biāo)（-$\frac{3}{10}$，$\frac{3}{5}$）．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．