Question

17．函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）+2}{2si{n}^{2}\frac{x}{2}+1}$的最大值為M，最小值為m，則M+m等于（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 運用兩角差的正弦公式和二倍角的余弦公式，化簡f（x）=1+$\frac{sinx}{2-cosx}$，設(shè)g（x）=$\frac{sinx}{2-cosx}$，定義域為R，判斷g（x）為奇函數(shù)，運用奇函數(shù)的性質(zhì)：最值之和為0，即可得到所求和．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）+2}{2si{n}^{2}\frac{x}{2}+1}$
=$\frac{\sqrt{2}（sinxcos\frac{π}{4}-cosxsin\frac{π}{4}）+2}{1-cosx+1}$
=$\frac{sinx-cosx+2}{2-cosx}$=1+$\frac{sinx}{2-cosx}$，
設(shè)g（x）=$\frac{sinx}{2-cosx}$，定義域為R，
g（-x）=$\frac{sin（-x）}{2-cos（-x）}$=-$\frac{sinx}{2-cosx}$=-g（x），
可得g（x）為奇函數(shù)．
設(shè)g（x）的最大值為A，則最小值為-A，
則f（x）的最大值M=A+1，最小值m=-A+1，
可得M+m=2．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用三角函數(shù)的恒等變換，考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．