Question

19．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{5}$，α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），求sin（2α+$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值可得函數(shù)的解析式．
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（$α+\frac{π}{3}$） 的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin（2α+$\frac{2π}{3}$）的值．

解答 解：（1）由圖可得A=1，且T=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$），從而ω=2．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•$\frac{π}{3}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（1）可知f（$\frac{α}{2}$）=sin（$α+\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$，α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，π），cos（$α+\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{2π}{3}$）=sin2（α+$\frac{π}{3}$）=2sin（$α+\frac{π}{3}$） cos（$α+\frac{π}{3}$）=2•$\frac{3}{5}$•（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{24}{25}$．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值．還考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．