Question

7．數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n，對任意的正整數(shù)n，均有4S_n=（a_n+1）²，且a_n＞0．
（1）求a₁及{a_n}的通項公式；
（2）令b${\;}_{n}=（-1）^{n-1}\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，即得a₁=1；當n≥2時，由遞推關(guān)系得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，從而可得結(jié)論；
（2）b${\;}_{n}=（-1）^{n-1}\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（-1）^{n-1}\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），對n分奇偶數(shù)討論即可．

解答 解：（1）當n=1時，$4{S}_{1}=（{a}_{1}+1）^{2}$，則a₁=1；
當n≥2時，由4S_n=（a_n+1）²，知4S_n-1=（a_n-1+1）²，
聯(lián)立兩式，得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
化簡得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0，
即{a_n}是以a₁=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故a_n=2n-1；
（2）b${\;}_{n}=（-1）^{n-1}\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（-1）^{n-1}\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
下面對n分奇偶數(shù)討論：
當n為偶數(shù)時，T_n=（1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$）-（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=$1-\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$，
當n為奇數(shù)時，T_n=（1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+…-（$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$）+（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）
=$1+\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n+2}{2n+1}$，
所以T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n+2}{2n+1}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{2n}{2n+1}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式及前n項和，分類討論的思想，屬于中檔題．