Question

12．定義全集U的子集A的特征函數(shù)為f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x∈{∁}_{U}A}\end{array}\right.$，這里∁_UA表示集合A在全集U中的補(bǔ)集，已知A⊆U，B⊆U，給出以下結(jié)論：
①函數(shù)f_A（x）的值域?yàn)閧0，1}；
②若A⊆B，則對(duì)于任意的x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）；
③對(duì)于任意的x∈U，都有${f}_{{∁}_{U}A}$（x）=1-f_A（x）；
④對(duì)于任意的x∈U，都有f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）．
其中正確的結(jié)論有①②③④（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)題中特征函數(shù)的定義，利用集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算法則，對(duì)①、②、③、④各項(xiàng)中的運(yùn)算加以驗(yàn)證，可得A、B、C都可以證明它們的正確性，而D項(xiàng)可通過反例說明它不正確．由此得到本題答案．

解答 解：由題意，可得函數(shù)f_A（x）的值域?yàn)閧0，1}；故①正確，
對(duì)于②，因?yàn)锳⊆B，可得x∈A則x∈B，
∵f_A（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x{∈C}_{U}^{A}}\end{array}\right.$，f_B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x{∈C}_{U}^{B}}\end{array}\right.$，
而C_UA中可能有B的元素，但C_UB中不可能有A的元素
∴f_A（x）≤f_B（x），
即對(duì)于任意x∈U，都有f_A（x）≤f_B（x）故②正確；
對(duì)于③，因?yàn)?{f}_{{C}_{U}^{A}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x{∈C}_{U}^{A}}\\{0，x∈A}\end{array}\right.$，結(jié)合f_A（x）的表達(dá)式，可得f CUA=1-f_A（x），故B正確；
對(duì)于④，f_A∩B（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{0，x{∈}_{{C}_{U}}（A∩B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A∩B}\\{0，x∈{（C}_{U}A）∪{（C}_{U}B）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈A}\\{0，x{∈C}_{U}A}\end{array}\right.$•$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈B}\\{0，x{∈C}_{U}B}\end{array}\right.$=f_A（x）•f_B（x），
故④正確；
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題給出特征函數(shù)的定義，判斷幾個(gè)命題的真假性，著重考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的理解等知識(shí)，屬于中檔題．