Question

12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2，bcosC-ccosB=4，$\frac{π}{4}$≤C≤$\frac{π}{3}$，則tanA的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式可得：cosB=-$\frac{a}{2c}$=-$\frac{1}{c}$＜0，可得A為銳角，可得要tanA取最大值，則b，c取最小值，由bcosC=ccosB+4=c×（-$\frac{1}{c}$）+4=3，解得cosC=$\frac{3}$，
由C的范圍即可解得$\frac{1}{2}$≤cosC≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而可求b的范圍，結(jié)合余弦定理即可解得c的范圍，從而由余弦定理即可求得tanA的最大值．

解答 解：在△ABC中，∵a=2，bcosC-ccosB=4=2a，
∴由正弦定理可得：sinBcosC-sinCcosB=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，整理可得：sinBcosC+3cosBsinC=0，即：sinA+2cosBsinC=0，
∴a+2ccosB=0，解得：cosB=-$\frac{a}{2c}$=-$\frac{1}{c}$＜0，可得：B為鈍角，A為銳角．
∴要tanA取最大值，則A取最大值，B，C取最小值，從而b，c取最小值．
∵bcosC=ccosB+4=c×（-$\frac{1}{c}$）+4=3，解得：cosC=$\frac{3}$，
∵$\frac{π}{4}$≤C≤$\frac{π}{3}$，可得：$\frac{1}{2}$≤cosC≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即：$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：3$\sqrt{2}$≤b≤6，
又∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=-$\frac{1}{c}$，整理可得：b²-c²=8，
∴$\sqrt{10}$≤c≤2$\sqrt{7}$，
∴當tanA取最大值時，b=3$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{10}$，此時，由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{18+10-4}{2×3\sqrt{2}×\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴從而求得tanA=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}A}-1}$=$\frac{1}{2}$．即tanA取最大值為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，大邊對大角等知識在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握和應用相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．