Question

已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,求的值；

(2)求函數(shù)的極值；

(3)當(dāng)的值時(shí),若直線與曲線沒有公共點(diǎn),求的最大值.

(注：可能會(huì)用到的導(dǎo)數(shù)公式：；）

 

Answer 1

(1)；(2) 當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極小值；當(dāng),在處取得極小值,無(wú)極大值；(3)1．

【解析】

試題分析：（1）依題意，，從而可求得的值；（2），分①時(shí)、②討論，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而可求其極值；（3）令，則直線:與曲線沒有公共點(diǎn)方程在上沒有實(shí)數(shù)解．分與討論即可得答案．

試題解析：(1)由,得.

又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸, 得,即,解得.

(2),

①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無(wú)極值.

②當(dāng)時(shí),令,得,. ,;,.

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

故在處取得極小值,且極小值為,無(wú)極大值.

綜上，當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)極小值；當(dāng),在處取得極小值,無(wú)極大值.

(3)當(dāng)時(shí),，

令,

則直線:與曲線沒有公共點(diǎn), 等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解.

假設(shè),此時(shí),,

又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故.

又時(shí),,知方程在上沒有實(shí)數(shù)解，所以的最大值為.

解法二:

(1)(2)同解法一.

(3)當(dāng)時(shí),.

直線:與曲線沒有公共點(diǎn),

等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于的方程: (*)，在上沒有實(shí)數(shù)解.

①當(dāng)時(shí),方程(*)可化為,在上沒有實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)時(shí),方程(*)化為.

令,則有.

令,得,

當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:

當(dāng)時(shí),,同時(shí)當(dāng)趨于時(shí),趨于, 從而的取值范圍為.

所以當(dāng)時(shí),方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解, 解得的取值范圍是.

綜上,得的最大值為.

考點(diǎn)：1．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；2．導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系；3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義．