【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x2+bx﹣alnx.
(1)當(dāng)a=5,b=﹣1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對任意b∈[﹣3,﹣2],都存在x∈(1,e2)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),使得f(x)<0成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)a=5,b=﹣1時,f(x)=2x2+bx﹣5lnx.x∈(0,+∞),
∴f′(x)=4x﹣1﹣ = = ,
由f′(x)<0,得﹣1<x< ,由f′(x)>0,得x<﹣1或x> ,
∴f(x)的遞減區(qū)間為(0, ),f(x)的遞增區(qū)間為( ,+∞)
(2)解:設(shè):g(b)=xb+2x2﹣alnx,b∈[﹣3,﹣2],g(b)為增函數(shù).
根據(jù)題意可知:對任意b∈[﹣3,﹣2],存在x∈(1,e2),使得f(x)<0成立,則:
g(b)max=g(﹣2)=2x2﹣2x﹣alnx<0在(1,e2)上有解,
令h(x)=2x2﹣2x﹣alnx,只需存在x0∈(1,e2),使得h(x0)<h(1)=0即可,
∵h′(x)=4x﹣2﹣ = ,又令F(x)=4x2﹣2x﹣a,x∈(1,e2),
F′(x)=8x﹣2>0,x∈(1,e2),
∴F(x)在(1,e2)單調(diào)遞增,
∴F(x)>F(1)=2﹣a,
當(dāng)a≤2時,F(xiàn)(x)>0,即h′(x)>0,
∴h(x)在(1,e2)上增函數(shù),
∴h(x)>h(1)=0,不符合題意;
當(dāng)a>2時,F(xiàn)(1)=2﹣a<0,F(xiàn)(e2)=4e4﹣2e2﹣a,
若F(e2)≤0,即a≥4e4﹣2e2=2e2(e2﹣1)>2時,F(xiàn)(x)<0,即h′(x)<0,h(x)在(1,e2)上單調(diào)遞減,
又h(1)=0,
∴存在x0∈(1,e2)使得F(x0)<0,
若F(e2)>0,即2<a<4e4﹣2e2時,在(1,e2)上存在實數(shù)m,使得F(m)=0,即x∈(1,m)時,F(xiàn)(x)<0,h′(x)<0,
∴h(x)在(1,m)上單調(diào)遞減,
∴x0∈(1,m)使得h(x0)<h(1)=0,
綜上所述,當(dāng)a>2時,對任意b∈[﹣3,﹣2],存在x∈(1,e2),使得f(x)<0成立
【解析】(1)當(dāng)a=5,b=﹣1時,求得函數(shù)解析式及定義域,求導(dǎo),令f′(x)<0求得單調(diào)遞減區(qū)間,f′(x)>0,求得單調(diào)遞增區(qū)間;(2)令g(b)=xb+2x2﹣alnx,b∈[﹣3,﹣2],問題轉(zhuǎn)化為在g(b)max=g(﹣2)=2x2﹣2x﹣alnx<0在(1,e2)上有解,亦即只需存在x0∈(1,e2),使得h(x0)<h(1)=0即可,連續(xù)利用導(dǎo)函數(shù),然后分別對當(dāng)a≤2,a>2時,看是否存在x0∈(1,e)使得h(x0)<h(1)=0,進而得到結(jié)論.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x﹣3|
(1)求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若{x|f(x)≤t2﹣3t}∩{x|﹣2≤x≤0}≠.求實數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f (x)的定義域是,對任意
當(dāng)時,.關(guān)于函數(shù)給出下列四個命題:
①函數(shù)是奇函數(shù);
②函數(shù)是周期函數(shù);
③函數(shù)的全部零點為;
④當(dāng)時,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有三個公共點.
其中真命題的個數(shù)為 .
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】已知F1 , F2分別是橢圓 的左、右焦點F1 , F2關(guān)于直線x+y﹣2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)過點F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當(dāng)ab最大時,求直線l的方程.
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【題目】已知定義在上的函數(shù)的圖像經(jīng)過點,且在區(qū)間單調(diào)遞減,又知函數(shù)為偶函數(shù),則關(guān)于的不等式的解為 ( )
A. B. C. D.
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【題目】若函數(shù)滿足且,則稱函數(shù)為“函數(shù)”.
試判斷是否為“函數(shù)”,并說明理由;
函數(shù)為“函數(shù)”,且當(dāng)時,,求的解析式,并寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間;
在條件下,當(dāng)時,關(guān)于的方程為常數(shù)有解,記該方程所有解的和為,求.
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【題目】我國古代秦九韶算法可計算多項式anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的值,它所反映的程序框圖如圖所示,當(dāng)x=1時,當(dāng)多項式為x4+4x3+6x2+4x+1的值為( )
A.5
B.16
C.15
D.11
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【題目】四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2 ,SB=SC= .
(1)設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l,求證:l∥AB;
(2)求證:SA⊥BC;
(3)求直線SD與面SAB所成角的正弦值.
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【題目】橢圓的左、右焦點分別是,且點在上,拋物線與橢圓交于四點
(I)求的方程;
(Ⅱ)試探究坐標(biāo)平面上是否存在定點,滿足?(若存在,求出的坐標(biāo);若不存在,需說明理由.)
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