【題目】橢圓的左、右焦點分別是,且點上,拋物線與橢圓交于四點

(I)求的方程;

(Ⅱ)試探究坐標平面上是否存在定點,滿足?(若存在,求出的坐標;若不存在,需說明理由.)

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)答案見解析.

【解析】試題分析:(I)根據(jù)橢圓定義求,再根據(jù)c求b,即得的方程;(Ⅱ)根據(jù)橢圓和拋物線對稱性得轉(zhuǎn)化為研究的垂直平分線軸的交點是否為定點.聯(lián)立拋物線方程與橢圓方程,利用韋達定理以及中點公式得,再根據(jù)直線斜率公式得AB斜率,表示垂直平分線方程,求得其和軸的交點為,即得結(jié)論.

試題解析:(I)依題意有:

所以

所以橢圓的方程為:

(Ⅱ)法一:由于橢圓和拋物線都關(guān)于軸對稱,故它們的交點也關(guān)于軸對稱,不妨設(shè),則

若存在點滿足條件,則點軸上,設(shè),

聯(lián)立

,

由于

所以

所以

故坐標平面上存在定點,滿足

法二:由于橢圓和拋物線都關(guān)于軸對稱,故它們的交點也關(guān)于軸對稱,不妨設(shè),則 的中心

依題意,只要探究的垂直平分線軸的交點是否為定點.

聯(lián)立

所以,直線

得: 為定值,

故坐標平面上存在定點,滿足.

練習冊系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x2+bx﹣alnx.
(1)當a=5,b=﹣1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對任意b∈[﹣3,﹣2],都存在x∈(1,e2)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),使得f(x)<0成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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甲校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

3

4

7

14

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

17

x

4

2

乙校:

分組

[70,80)

[80,90)

[90,100)

[100,110)

頻數(shù)

1

2

8

9

分組

[110,120)

[120,130)

[130,140)

[140,150]

頻數(shù)

10

10

y

4


(1)計算x,y的值;
(2)若規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為兩所學校的數(shù)學成績有差異;
(3)若規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀,現(xiàn)從已抽取的110人中抽取兩人,要求每校抽1人,所抽的兩人中有人優(yōu)秀的條件下,求乙校被抽到的同學不是優(yōu)秀的概率.

甲校

乙校

總計

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
臨界值表:

P(K2≥k0

0.10

0.05

0.010

k0

2.706

3.841

6.635

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(2)設(shè)P為橢圓C2上一點,點M、N在橢圓C1上,且 ,則直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

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(1)若,且時 ,則=______________

(2)若方程有兩個不相等的正根,則的取值范圍 ___________

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