【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，直線l經(jīng)過點(diǎn)F，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù)?若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)滿足題意

【解析】

（1）由題意得，再根據(jù)右焦點(diǎn)為，求出的值，就可得到的值，再根據(jù)，，的關(guān)系，解出值，則橢圓方程可知；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，求出，，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，以及，要使其為常數(shù)，只需要，化簡，可求出的值，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，同樣求出的值，兩者一致，所以在軸上存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù).

（1）由題意可知，，又，解得，

所以，所以橢圓的方程為．

（2）若直線不l垂直于x軸，可設(shè)的方程為．

由得．

．

設(shè)，，則，．

設(shè)，則，，

要使得（為常數(shù)），只要，

即．

對于任意實(shí)數(shù)k，要使式恒成立，

只要，解得．

若直線l垂直于x軸，其方程為，

此時(shí)，直線l與橢圓兩交點(diǎn)為，，

取點(diǎn)，有，，

．

綜上所述，過定點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，存在定點(diǎn)，使得．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖，連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐．

Ⅰ求證；

Ⅱ若平面ABCD．

求二面角的大小；

在棱PC上存在點(diǎn)M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l1：x﹣y+3＝0和l2：x+y+1＝0的交點(diǎn)為A，過A且與x軸和y軸都相切的圓的方程為_____，動(dòng)點(diǎn)B，C分別在l1和l2上，且|BC|＝2，則過A，B，C三點(diǎn)的動(dòng)圓掃過的區(qū)域的面積為_____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城市”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次).通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分(滿分100分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:

組別

頻數(shù)

（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求

（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:

①得分不低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi);

②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:

贈(zèng)送話費(fèi)的金額(單位:元)

概率

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記 (單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與均值.

附:參考數(shù)據(jù)與公式

若，則=0.9544，

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)．點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上．

(1)求雙曲線的方程；

(2)求證：；

(3)求△F1MF2的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在下列命題中，正確命題的序號為 （寫出所有正確命題的序號）．

①函數(shù)的最小值為；

②已知定義在上周期為4的函數(shù)滿足，則一定為偶函數(shù)；

③定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則；

④已知函數(shù)，則是有極值的必要不充分條件；

⑤已知函數(shù)，若，則．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極標(biāo)坐系中，已知圓的圓心，半徑

（1）求圓的極坐標(biāo)方程；

（2）若，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線交圓于兩點(diǎn)，求弦長的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，對任意，都有恒成立，求的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線： .

（Ⅰ）求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若與相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案