Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為，直線l經過點F，且與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當直線l繞點F轉動時，試問：在x軸上是否存在定點M，使得為常數?若存在，求出定點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點滿足題意

【解析】

（1）由題意得，再根據右焦點為，求出的值，就可得到的值，再根據，，的關系，解出值，則橢圓方程可知；（2）當直線斜率存在時，設出直線的方程，與橢圓方程聯立，消去，得到關于的一元二次方程，求出，，設出M點坐標，以及，要使其為常數，只需要，化簡，可求出的值，當直線垂直于軸時，同樣求出的值，兩者一致，所以在軸上存在定點M，使得為常數.

（1）由題意可知，，又，解得，

所以，所以橢圓的方程為．

（2）若直線不l垂直于x軸，可設的方程為．

由得．

．

設，，則，．

設，則，，

要使得（為常數），只要，

即．

對于任意實數k，要使式恒成立，

只要，解得．

若直線l垂直于x軸，其方程為，

此時，直線l與橢圓兩交點為，，

取點，有，，

．

綜上所述，過定點的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當直線l繞點F轉動時，存在定點，使得．