Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$（a∈R，a≠0）．
（1）求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：?n∈N^*，有$\frac{1}{n+1}＜ln（\frac{1}{n}+1）＜\frac{1}{n}$；
（3）若a_n=1+$\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}$-lnn，證明：?n∈N^*，有a_n＞a_n+1＞0．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的正負，求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)x=$\frac{1}{n}∈（0，1]$，由（1）知：f （x）=l_n（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，f （0）=0，當(dāng)x∈（0，1）時，f （x）單調(diào)遞增，可得$\frac{x}{x+1}＜ln（x+1）$，再來證明：當(dāng)x∈（0，1）時ln（1+x）＜x．構(gòu)造函數(shù)m（x）=ln（x+1）-x  x∈（0，1），即可證明結(jié)論；
（3）利用作差法證明a_n＞a_n+1，再用放縮法證明a_n＞0．

解答 （1）解：$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}=\frac{x}{{{{（1+x）}^2}}}$．
令f'（x）＞0，又x＞-1，則x＞0，
令f'（x）＜0，又x＞-1，則-1＜x＜0    
故f（x）的遞減區(qū)間是（-1，0），遞增區(qū)間是（0，+∞）…（4分）
（2）證明：設(shè)x=$\frac{1}{n}∈（0，1]$，則$\frac{1}{n+1}＜ln（\frac{1}{n}+1）＜\frac{1}{n}?\frac{x}{x+1}＜ln（x+1）＜x$，
由（1）知：f （x）=l_n（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，f （0）=0，
當(dāng)x∈（0，1）時，f （x）單調(diào)遞增，∴f （x）＞0，即$\frac{x}{x+1}＜ln（x+1）$．
再來證明：當(dāng)x∈（0，1）時ln（1+x）＜x．
構(gòu)造函數(shù)m（x）=ln（x+1）-x  x∈（0，1），則$m'（x）=\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}＜0$，
故m（x）在（0，1）上遞減，
∴當(dāng)x∈（0，1）時，m（x）＜m（0）=0，即ln（1+x）＜x，
綜上可知：?n∈N^*有$\frac{1}{n+1}＜ln（\frac{1}{n}+1）＜\frac{1}{n}$．…（8分）
（3）證明：由（2）的結(jié)論知，?n∈N^*有$\frac{1}{n+1}＜ln（\frac{1}{n}+1）＜\frac{1}{n}$
∴${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{1}{n+1}-ln（n+1）+lnn=\frac{1}{n+1}-ln（1+\frac{1}{n}）＜0$
∴a_n＞a_n+1
又${a_n}=1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}-lnn＞ln（1+1）+ln（1+\frac{1}{2}）+…+ln（1+\frac{1}{n}）-lnn$
=ln2+ln$\frac{3}{2}+…+ln\frac{n+1}{n}-lnn$=ln2+（ln3-ln2）+…+[ln（n+1）-lnn]-lnn=ln（n+1）-lnn＞0
綜上，?n∈N^*有a_n＞a_n+1＞0…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，屬于中檔題．