Question

9．設(shè)P是拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-3上橫坐標(biāo)非負(fù)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P引圓x²+y²=2的兩條切線，切點(diǎn)分別為T₁、T₂，當(dāng)|T₁T₂|最小時(shí)，直線T₁T₂的方程是x+y-1=0．

Answer 1

分析 設(shè)圓心為O（0，0），PO與T₁T₂交于E，則PO²=PT₁²+2，T₁T₂=2T₁E=$\frac{2P{T}_{1}}{PO}$=2$\sqrt{1-\frac{2}{P{O}^{2}}}$，當(dāng)PO值最小時(shí)，T₁T₂取最小值，求出P的坐標(biāo)，設(shè)出兩切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圓的切線方程公式分別寫出兩條切線方程，然后把P點(diǎn)坐標(biāo)代入后得到過兩切點(diǎn)的直線方程即可．

解答 解：設(shè)圓心為O（0，0），PO與T₁T₂交于E，則PO²=PT₁²+2，T₁T₂=2T₁E=$\frac{2P{T}_{1}}{PO}$=2$\sqrt{1-\frac{2}{P{O}^{2}}}$
∴當(dāng)PO值最小時(shí)，T₁T₂取最小值；
設(shè)P（x，y），則PO²=x²+y²=y²+4y+12=（y+2）²+8
當(dāng)y=-2時(shí)，PO²有最小值8，P（2，2）
設(shè)切點(diǎn)為T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂），
則PT₁的方程為x₁x+y₁y=2，PT₂的方程為x₂x+y₂y=2，
把（2，2）分別代入求得2x₁+2y₁=2，2x₂+2y₂=2
∴直線T₁T₂的方程是2x+2y=2，化簡得x+y-1=0
故答案為：x+y-1=0．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握?qǐng)A的切線方程公式，靈活運(yùn)用點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程的關(guān)系寫出直線方程，是一道中檔題．