Question

8．設函數f（x）=|2x+2|+|2x-4|．
（1）求不等式f（x）＞8的解集；
（2）若存在x∈R，使不等式f（x）≤|2m-3|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）轉化函數為分段函數，把關于x的不等式f（x）＞8轉化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用絕對值的幾何意義，求得f（x）的最小值，即可求得m的范圍．

解答 解：（1）①$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-4x+2＞8}\end{array}}\right.$，解得：$x＜-\frac{3}{2}$；
②$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x＜2}\\{6＞8}\end{array}}\right.$無解；
③$\left\{{\begin{array}{l}{x≥2}\\{4x-2＞8}\end{array}}\right.$解得：$x＞\frac{5}{2}$；
∴原不等式的解集為$\left\{{x|x＜-\frac{3}{2}或x＞\frac{5}{2}}\right\}$；
（2）∵f（x）=|2x+2|+|2x-4|，
∴f（x）≥|2x+2-（2x-4）|=6，
∴?x∈R，使f（x）≤|2m-3|成立，
∴f（x）_min=6≤|2m-3|，解得：$m≤-\frac{3}{2}$或$m≥\frac{9}{2}$，
∴實數m的取值范圍為：$m≤-\frac{3}{2}$或$m≥\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值的幾何意義，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．