Question

17．在長(zhǎng)度為6的線段上任取兩點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分成三條小線段
（1）若分成的三條線段的長(zhǎng)度為整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；
（2）若分成的三條線段的長(zhǎng)度為實(shí)數(shù)，求這三條線段不可以構(gòu)成三角形的概率．

Answer 1

分析 （1）本題是一個(gè)古典概型，若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則三條線段的長(zhǎng)度的所有可能為：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3種情況，其中只有三條線段為2，2，2時(shí)能構(gòu)成三角形，得到概率．
（2）本題是一個(gè)幾何概型，設(shè)出變量，寫(xiě)出全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，和滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域，注意整理三條線段能組成三角形的條件，做出面積，做比值得到概率

解答 解：（1）若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則三條線段的長(zhǎng)度的所有可能為：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2；2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1共10種情況，其中只有三條線段為2，2，2時(shí)能構(gòu)成三角形
則構(gòu)成三角形的概率p=$\frac{1}{10}$．
（2）由題意知本題是一個(gè)幾何概型
設(shè)其中兩條線段長(zhǎng)度分別為x，y，
則第三條線段長(zhǎng)度為6-x-y，
則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?br />0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6-x-y＜6，
即為0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面區(qū)域?yàn)槿�角形OAB；
若三條線段x，y，6-x-y，能構(gòu)成三角形，
則還要滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞6-x-y}\\{x+6-x-y＞y}\\{y+6-x-y＞x}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{y＜3}\\{x＜3}\end{array}\right.$，
所表示的平面區(qū)域?yàn)椤鱀EF，
由幾何概型知這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率：P=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△AOB}}=\frac{1}{4}$．
這三條線段不可以構(gòu)成三角形的概率1-$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型，考查幾何概型；對(duì)于幾何概型的問(wèn)題，一般要通過(guò)把試驗(yàn)發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來(lái)，根據(jù)集合對(duì)應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)果．