Question

9．各項(xiàng)均為正數(shù)的{a_n}前n項(xiàng)積為T_n=（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{n}^{2}-6n}$，b_n=log₂a_n，求{b_n}前n項(xiàng)和S_n最大時(shí)，n的值．

Answer 1

分析 通過計(jì)算可知當(dāng)n≥2時(shí)a_n=4^7-2n，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=4^7-2n，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知數(shù)列{b_n}是以10為首項(xiàng)、-4為公差的等差數(shù)列，通過配方、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，當(dāng)n≥2時(shí)a_n=$\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{\frac{1}{{4}^{{n}^{2}-6n}}}{\frac{1}{{4}^{（n-1）^{2}-6（n-1）}}}$=4^7-2n，
又∵a₁=T₁=$\frac{1}{{4}^{1-6}}$=4⁵滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=4^7-2n，
∴b_n=log₂a_n=14-4n，
∴數(shù)列{b_n}是以10為首項(xiàng)、-4為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=10n+$\frac{n（n-1）（-4）}{2}$
=-2n²+12n
=-2（n-3）²+18，
∴當(dāng)S_n取最大值時(shí)n=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．