Question

14．已知∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，若PA=AB=BC=1，則四面體PABC的外接球的表面積為3π．

Answer 1

分析 取PC的中點O，連結(jié)OA、OB．由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC與△PBC是具有公共斜邊的直角三角形，從而得出OA=OB=OC=OP=$\frac{1}{2}$PC，所以P、A、B、C四點在以O為球心的球面上．根據(jù)題中的數(shù)據(jù)，利用勾股定理算出PC長，進而得到球半徑R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用球的表面積公式加以計算，可得答案．

解答 解：取PC的中點O，連結(jié)OA、OB
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵PB?平面PAC，∴BC⊥PB，
∵OB是Rt△PBC的斜邊上的中線，OB=$\frac{1}{2}$PC．
同理可得：Rt△PAC中，OA=$\frac{1}{2}$PC，
∴OA=OB=OC=OP=$\frac{1}{2}$PC，可得P、A、B、C四點在以O為球心的球面上．
Rt△ABC中，AB=BC=1，可得AC=$\sqrt{2}$，
Rt△PAC中，PA=1，可得PC=$\sqrt{3}$．
∴球O的半徑R=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得球O的表面積為S=4πR²=3π．
故答案為：3π．

點評 本題給出特殊的三棱錐，由它的外接球的表面積．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與球的表面積公式等知識，屬于中檔題．