【題目】已知直線x+y﹣1=0與橢圓 相交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)M在直線 上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若橢圓右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓x2+y2=1上,求橢圓的方程.

【答案】
(1)解:設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),

得:(a2+b2)x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0.

△=﹣(2a22﹣(a2+b2)(a2﹣a2b2)>0,即a2+b2>1.

x1+x2= ,y1+y2=﹣( x1+x2)+2=

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為( , ).

又點(diǎn)M在直線l上,

=0,

∴a2=2b2=2(a2﹣c2),∴a2=2c2,


(2)解:由(1)知b=c,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F(b,0)關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為(x0,y0),

,解得

∵x02+y02=1,

∴b2=1,顯然有a2+b2=3>1.

∴所求的橢圓的方程為


【解析】(1)設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立直線與橢圓的方程得關(guān)于x的一元二次方程;由根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2 , y1+y2;從而得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo),代入直線l的方程,得出a、c的關(guān)系,從而求得橢圓的離心率.(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0),F(xiàn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為(x0 , y0),則由互為對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分,可得方程組,解得x0、y0;代入圓的方程 x02+y02=1,得出b的值,從而得橢圓的方程.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)锳,如果存在函數(shù)x=g(t),使得函數(shù)y=f[g(t)]的值域仍是A,那么稱x=g(t)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)等值域變換.
(1)判斷下列函數(shù)x=g(t)是不是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)等值域變換?說(shuō)明你的理由; ① ;
②f(x)=x2﹣x+1,x∈R,x=g(t)=2t , t∈R.
(2)設(shè)f(x)=log2x的定義域?yàn)閤∈[2,8],已知 是y=f(x)的一個(gè)等值域變換,且函數(shù)y=f[g(t)]的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m、n的值.

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質(zhì)量指標(biāo)
值分組

[75,85)

[85,95)

[95,105)

[105,115)

[115,125]

頻數(shù)

6

26

38

22

8

則樣本的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[105,125]上的頻率為

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A.
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D.

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A.
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C.
D.

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