Question

8．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）$（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$在某一個周期的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如表：

x	$\frac{2}{3}$π	x1	$\frac{8}{3}$π	x2	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3}{2}$π	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

（I）求x₁，x₂，x₃的值及函數(shù)f（x）的表達式；
（Ⅱ）若對任意的x₁，x₂∈[0，π]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由題意可得f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，且|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于t，由此求得t的范圍．

解答 解：（I）x₁=$\frac{\frac{2π}{3}+\frac{8π}{3}}{2}$=$\frac{5π}{3}$，x₁-$\frac{2π}{3}$=π，∴x₂=$\frac{8π}{3}$+π=$\frac{11π}{3}$，x₃=$\frac{11π}{3}$+π=$\frac{14π}{3}$．
由表格可得A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{8π}{3}$-$\frac{2π}{3}$，求得ω=$\frac{1}{2}$，再根據(jù)五點法作圖可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{3}$+φ=0，求得φ=-$\frac{π}{3}$，
故函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）若對任意的x₁，x₂∈[0，π]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜t恒成立，
故當x∈[0，π]時，$\frac{1}{2}$x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值小于t．
故 1-（-$\sqrt{3}$）＜t，即 t＞1+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．