Question

16．已知 a、b、c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且ccosA-$\sqrt{3}$asinC-c=0
（1）求角A
（2）若a=2，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，求b、c．

Answer 1

分析 （1）把已知的等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0，得到一個(gè)關(guān)系式，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)即可；
（2）由A的度數(shù)求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面積，利用面積公式及sinA的值，求出bc的值，記作①；由a與cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，利用完全平方公式變形后，把bc的值代入求出b+c的值，記作②，聯(lián)立①②即可求出b與c的值．

解答 （本題滿(mǎn)分為10分）
解：（1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式得：sinCcosA-$\sqrt{3}$sinAsinC+sinC=0，
∵C為三角形的內(nèi)角，∴sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
整理得：2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或A-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得：A=$\frac{π}{3}$或A=π（舍去），
則A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=2，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=$\frac{1}{2}$，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，即bc=4①；
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12，
整理得：b+c=4②，
聯(lián)立①②解得：b=c=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．