Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.

(1)求證：平面PQB⊥平面PAD；

(2)若M為棱PC的中點(diǎn)，求異面直線AP與BM所成角的余弦值；

(3)若二面角M－BQ－C的大小為30°，求QM的長．

Answer 1

解：(1)證明：證法一：∵AD∥BC，BC＝AD，Q為AD的中點(diǎn)，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，

∴CD∥BQ.

∵∠ADC＝90°，

∴∠AQB＝90°，

即QB⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴BQ⊥平面PAD.

∵BQ⊂平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD.

證法二：∵AD∥BC，BC＝AD，Q為AD的中點(diǎn)，

∴BC∥DQ且BC＝DQ，

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ.

∵∠ADC＝90°，

∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.

∵PA＝PD，∴PQ⊥AD.

∵PQ∩BQ＝Q，

∴AD⊥平面PBQ.

∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.

(2)∵PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)，

∴PQ⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD.

如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Q－xyz，

則Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)．

∵M是PC的中點(diǎn)，

設(shè)異面直線AP與BM所成的角為θ，

則cos θ＝|cos〈，〉|

＝

∴異面直線AP與BM所成角的余弦值為.

(3)由(2)知平面BQC的一個(gè)法向量為n＝(0,0,1)．

∵二面角M－BQ－C的大小為30°，

即QM的長為.