Question

8．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱和底面垂直，底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，若該三棱柱的各頂點(diǎn)都在球O的表面上，且球O的表面積為36π，則此三棱錐A-A₁B₁C₁的體積為（　　）

• A． $\frac{121}{25}$
• B． $\frac{81}{16}$
• C． $\frac{16}{9}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 通過(guò)球的內(nèi)接體，說(shuō)明幾何體的中心是球的直徑，由球的表面積求出球的半徑，設(shè)出三棱柱的底面邊長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形求得a，然后由棱柱的體積公式得答案．

解答 解：如圖，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都相等，6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，
∴三棱柱為正三棱柱，且其中心為球的球心，設(shè)為O，
再設(shè)球的半徑為r，由球O的表面積為36π，得4πr²=36π，∴r=3．
設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則上底面所在圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，且球心O到上底面中心H的距離OH=a，
∴3²=a²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²，∴a=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
則三棱柱的底面積為S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{16}$．
∴三棱錐A-A₁B₁C₁的體積為$\frac{1}{3}$×$\frac{27\sqrt{3}}{16}$×2×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{81}{16}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，球的半徑的求解，考查計(jì)算能力，是中檔題．