Question

13．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，且E是BC的中點，D是AC₁中點．
（1）求證：B₁C⊥平面AEC₁；
（2）求三棱錐C-AED的體積．

Answer 1

分析 （1）證明AE⊥B₁C，B₁C⊥EC₁，即可證明B₁C⊥平面AEC₁；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐C-AED的體積．

解答 （1）證明：∵AB=AC，E是BC的中點，
∴AE⊥平面B₁C．
∵B₁C?平面B₁C，
∴AE⊥B₁C．
∵CC₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，
∴$\frac{CE}{{B}_{1}B}$=$\frac{{C}_{1}C}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△C₁CE∽△CBB₁，
∴∠B₁CB=∠CC₁E，
∴B₁C⊥EC₁，
∵EC₁∩AE=E，
∴B₁C⊥平面AEC₁；
（2）解：三棱錐C-AED的體積=$\frac{1}{2}$×三棱錐C₁-AED的體積=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．