Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）-a
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)g（x）有四個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，記g（x）得四個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，x₃，x₄，求x₁+x₂+x₃+x₄的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義解方程即可．
（2）利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷求解．
（3）根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，由|lnx|=2解得x=e²或x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，…（2分）
當(dāng)x≤0時(shí)，由x²+4x+1=2解得x=-2+$\sqrt{5}$（舍）或x=-2-$\sqrt{5}$，
∴函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，分別為x=e²或x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，x=-2-$\sqrt{5}$．…（4分）
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f（x）的圖象與c的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
作函數(shù)f（x）的圖象y=a的圖象，結(jié)合兩函數(shù)圖象可知，
函數(shù)g（x）有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍是0＜a≤1；…（8分）
（3）不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄，結(jié)合圖象知x₁+x₂=-4且0＜x₃＜1，x₄＞1，…（9分）
由|lnx₃|=|lnx₄|=a，知x₃x₄=1且x₄∈（1，e]，
∴x₃+x₄=$\frac{1}{{x}_{4}}$+x₄∈（2，e+$\frac{1}{e}$]，…（11分）
故x₁+x₂+x₃+x₄的取值范圍是∈（-2，e+$\frac{1}{e}$-4]…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求解以及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，利用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象問題是解決本題的關(guān)鍵．