Question

20．如圖，ABCD是邊長為2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD．
（1）設(shè)EF=λBD，是否存在實(shí)數(shù)λ，使BF∥平面ACE；
（2）求證：平面EAC⊥平面BDEF
（3）當(dāng)EF=$\frac{1}{2}$BD時，求幾何體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）存在$λ=\frac{1}{2}$．證明四邊形EFBO是平行四邊形，可得BF∥EO，使BF∥平面ACE；
（2）利用面面垂直的判定定理證明平面EAC⊥平面BDEF；
（3）幾何體的體積V_ABCDEF=2V_A-BDEF=2×$\frac{1}{3}$S_BDEF•AO

解答 （1）解：存在$λ=\frac{1}{2}$．證明：記AC與BD的交點(diǎn)為O，則DO=BO=$\frac{1}{2}$BD，連接EO，
∵EF∥BD，當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時，即EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF∥BO且EF=BO，則四邊形EFBO是平行四邊形，
∴BF∥EO，
又∵EO?面ACE，BF?面ACE，
∴BF∥平面ACE；             …4’
（2）證明：∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴ED⊥AC．
∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，
又ED∩BD=D，∴AC⊥平面BDEF，
又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；…8’
（3）解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，
又∵EF∥BD且EF=$\frac{1}{2}$BD，∴BDEF是直角梯形，
又∵ABCD是邊長為2的正方形，BD=2$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{2}$，
∴梯形BDEF的面積為$\frac{（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）×1}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由（1）知AC⊥平面BDEF，
∴幾何體的體積V_ABCDEF=2V_A-BDEF=2×$\frac{1}{3}$S_BDEF•AO=2×$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$=2．…13’

點(diǎn)評 本題主要考查空間直線與平面，面面垂直的判定以及空間幾何體的體積，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．