Question

6．已知數(shù)列{a_n}是首項為1的數(shù)列，且當(dāng)n≥2時，$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$+$\frac{1}{2}$．
（1）證明：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和為T_n，求T₆₀．

Answer 1

分析 （1）利用題中的遞推關(guān)系式進一步利用定義和前n項和公式求出數(shù)列的相鄰項的差是常數(shù)，所以數(shù)列數(shù)等差數(shù)列．
（2）利用（1）中${S}_{n}=\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$，進一步整理出$\frac{1}{{S}_{n}}=2[\frac{1}{n（n+1）}]$=$2[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}]$進一步利用裂項相消法求出數(shù)列的前n項和，最后求出結(jié)果．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}是首項為1的數(shù)列，且當(dāng)n≥2時，$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$+$\frac{1}{2}$．
則：$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{2}$（常數(shù)）．
則：{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以$\frac{{a}_{1}}{1}$=1為首項，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列．
則：$\frac{{S}_{n}}{n}=1+\frac{1}{2}（n-1）$，
解得：${S}_{n}=\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$
所以：a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n-\frac{（n-1）^{2}}{2}-\frac{n-1}{2}$=n．
所以進一步整理出：a_n-a_n-1=1（常數(shù)）
所以：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）由（1）得：${S}_{n}=\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$，
所以：$\frac{1}{{S}_{n}}=2[\frac{1}{n（n+1）}]$=$2[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}]$
所以：${T}_{n}=\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+$…+$\frac{1}{{S}_{n}}$
=2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$]
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\begin{array}{c}\\ \frac{2n}{n+1}\end{array}\right.$
則：${T}_{60}=\frac{120}{61}$．

點評 本題考查的知識要點：利用定義和遞推關(guān)系式證明數(shù)列是等差數(shù)列，利用裂項相消法求數(shù)列的和．