Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x^2}（lnx+\frac{3}{2}-ax）$，a＞0．
（Ⅰ）若a=2，求證：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上沒有單調(diào)性且沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用a=2，化簡函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)g（x）=lnx-x+1，求出導(dǎo)數(shù)與定義域，求出g（x）在（0，+∞）上最大值是g（1），即可得到結(jié)果．
（II）利用f（x）在（0，+∞）無單調(diào)性可知，推出導(dǎo)函數(shù)必有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為$f'（x）=-\frac{2}{x^3}（lnx+1-\frac{a}{2}x）$有正根，
構(gòu)造$p（x）=lnx+1-\frac{a}{2}x$有正零點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最值．解得：a的范圍，再由f（x）在（0，+∞）無零點(diǎn)可知，設(shè)$h（x）=lnx+\frac{3}{2}-ax$，求出函數(shù)的最值，推出a的范圍，然后求解即可．

解答 解：（I）若a=2，$f'（x）=-\frac{2}{x^3}（lnx-x+1）$，…（2分）
設(shè)g（x）=lnx-x+1，$g'（x）=\frac{1-x}{x}$，定義域是x＞0，
在（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)，
在（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)，
∴g（x）在（0，+∞）上最大值是g（1）=0，
即lnx-x+1≤0，∴f′（x）≥0；…（6分）
（II）由f（x）在（0，+∞）無單調(diào)性可知，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）必有零點(diǎn)，…（8分）
∵$f'（x）=-\frac{2}{x^3}（lnx+1-\frac{a}{2}x）$，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，$f'（x）=-\frac{2}{x^3}（lnx+1-\frac{a}{2}x）$有正根，
即函數(shù)$p（x）=lnx+1-\frac{a}{2}x$有正零點(diǎn)，$p'（x）=-\frac{{a（x-\frac{2}{a}）}}{2x}$，p（x）在$（0，\frac{2}{a}）$遞增、
在$（\frac{2}{a}，+∞）$遞減，$p{（x）_{max}}=p（\frac{2}{a}）＞0$，解得：a＜2；…①…（10分）
再由f（x）在（0，+∞）無零點(diǎn)可知，設(shè)$h（x）=lnx+\frac{3}{2}-ax$，
令$h'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}=0$，得$x=\frac{1}{a}$，
∵h(yuǎn)（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$上是減函數(shù)，h（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上是增函數(shù)，
∴h（x）在（0，+∞）最大值是$h（\frac{1}{a}）=-lna+\frac{1}{2}$，
當(dāng)$h（\frac{1}{a}）＜0$，即$a＞\sqrt{e}$時，f（x）在（0，+∞）沒有零點(diǎn)；…②
由①②，∴a∈$（\sqrt{e}，2）$． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，構(gòu)造法以及新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)單調(diào)性函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．