Question

18．設(shè)A，B均為非空集合，且A∩B=∅，A∪B={1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N^*）．記A，B中元素的個數(shù)分別為a，b，所有滿足“a∈B，且b∈A”的集合對（A，B）的個數(shù)為a_n．
（1）求a₃，a₄的值；
（2）求a_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，先用列舉法寫出A∪B，再找出滿足條件的情況即可；                                              
（2）用列舉法寫出A∪B，對n分奇偶數(shù)討論即可，找出滿足條件的情況即可．

解答 解：（1）當(dāng)n=3時，A∪B={1，2，3}，且A∩B=∅，
若a=1，b=2，則1∈B，2∈A，共$C_1^0$種；
若a=2，b=1，則2∈B，1∈A，共$C_1^1$種，
所以a₃=$C_1^0$$+C_1^1=2$；                                             
當(dāng)n=4時，A∪B={1，2，3，4}，且A∩B=∅，
若a=1，b=3，則1∈B，3∈A，共$C_2^0$種；
若a=2，b=2，則2∈B，2∈A，這與A∩B=∅矛盾；
若a=3，b=1，則3∈B，1∈A，共$C_2^2$種，
所以a₄=$C_2^0$$+C_2^2=2$．                                              
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，A∪B={1，2，3，…，n}，且A∩B=∅，
若a=1，b=n-1，則1∈B，n-1∈A，共$C_{n-2}^0$（考慮A）種；
若a=2，b=n-2，則2∈B，n-2∈A，共$C_{n-2}^1$（考慮A）種；
…
若a=$\frac{n}{2}-1$，b=$\frac{n}{2}+1$，則$\frac{n}{2}-1$∈B，$\frac{n}{2}+1$∈A，共$C_{n-2}^{\frac{n}{2}-2}$（考慮A）種；
若a=$\frac{n}{2}$，b=$\frac{n}{2}$，則$\frac{n}{2}$∈B，$\frac{n}{2}$∈A，這與A∩B=∅矛盾；
若a=$\frac{n}{2}+1$，b=$\frac{n}{2}-1$，則$\frac{n}{2}+1$∈B，$\frac{n}{2}-1$∈A，共$C_{n-2}^{\frac{n}{2}}$（考慮A）種；
…
若a=n-1，b=1，則n-1∈B，1∈A，共（考慮A）$C_{n-2}^{n-2}$種，
所以a_n=$C_{n-2}^0+$$C_{n-2}^1$+…+$C_{n-2}^{\frac{n}{2}-2}$+$C_{n-2}^{\frac{n}{2}}$+…+$C_{n-2}^{n-2}={2^{n-2}}-C_{n-2}^{\frac{n}{2}-1}$；        
當(dāng)n為奇數(shù)時，同理得，a_n=$C_{n-2}^0+$$C_{n-2}^1$+…+$C_{n-2}^{n-2}={2^{n-2}}$，
綜上得，${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{2^{n-2}}-C_{n-2}^{\frac{n}{2}-1}，n為偶數(shù)\\{2^{n-2}}，n為奇數(shù).\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的第n項的求法，屬中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．