Question

5．已知三棱錐A-BCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=$\sqrt{3}$，BC=2，CD=$\sqrt{5}$，則球O的表面積為12π．

Answer 1

分析 證明BC⊥平面ACD，三棱錐S-ABC可以擴(kuò)充為以AC，BC，DC為棱的長(zhǎng)方體，外接球的直徑為體對(duì)角線，求出球的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：由題意，AC⊥平面BCD，BC?平面BCD，
∴AC⊥BC，
∵BC⊥CD，AC∩CD=C，
∴BC⊥平面ACD，
∴三棱錐S-ABC可以擴(kuò)充為以AC，BC，DC為棱的長(zhǎng)方體，外接球的直徑為體對(duì)角線，
∴4R²=AC²+BC²+CD²=12，
∴R=$\sqrt{3}$，
∴球O的表面積為4πR²=12π．
故答案為12π．

點(diǎn)評(píng) 本題給出特殊的三棱錐，由它的外接球的表面積．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．