Question

10．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；最大值，以及取得最大值時x的取值集合；
（2）已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=$\frac{3}{2}$，b+c=2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡可得解析式f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，從而可求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；函數(shù)f（x）的最大值，并寫出f（x）取最大值時x的取值集合；
（2）由題意，f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{3}{2}$，化簡可求得A的值，在△ABC中，根據(jù)余弦定理，由b+c=2，知bc≤1，即a²≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z），
函數(shù)f（x）的最大值為2．
當且僅當sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，即2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）時取到．
所以函數(shù)最大值為2時x的取值集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}．…（6分）
（2）由題意，f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{3}{2}$，化簡得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．
∵A∈（0，π），∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc．
由b+c=2，知bc≤1，即a²≥1．
∴當b=c=1時，取等號．
又由b+c＞a得a＜2．
所以a的取值范圍是[1，2 ）．…（12分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，余弦定理的應用，不等式的解法，屬于中檔題．