Question

17．判斷并證明函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$在（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 容易判斷f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，從而證明f（x₁）＜f（x₂）便可得出函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

解答 解：x增大時(shí)，$\frac{1}{x-1}$減小，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)x₁＞x₂＞1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{1}-1}-\frac{1}{{x}_{2}-1}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 考查減函數(shù)的定義，根據(jù)減函數(shù)的定義判斷并證明一個(gè)函數(shù)為減函數(shù)的方法和過(guò)程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．