Question

5．判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）f（x）=$\frac{sinx-tanx}{x}$；
（2）f（x）=lg（1-sinx）-lg（1+sinx）；
（3）f（x）=$\frac{co{s}^{2}x}{1-sinx}$；
（4）f（x）=$\sqrt{1-cosx}$+$\sqrt{cosx-1}$．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）（4）先求出函數(shù)的定義域，判定是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其次判定f（-x）與±f（x）的關(guān)系，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{sinx-tanx}{x}$，其定義域?yàn)閧x|x≠$kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=$\frac{sin（-x）-tan（-x）}{-x}$=$\frac{sinx-tanx}{x}$=f（x），為偶函數(shù)．
（2）f（x）=lg（1-sinx）-lg（1+sinx），其定義域?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{1-sinx＞0}\\{1+sinx＞0}\end{array}\right.$，化為-1＜sinx＜1，解得$2kπ-\frac{π}{2}$＜x＜$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，其定義域?yàn)椋?2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$），k∈Z，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=lg（1+sinx）-lg（1-sinx）=-f（x），因此是奇函數(shù)；
（3）f（x）=$\frac{co{s}^{2}x}{1-sinx}$=$\frac{1-si{n}^{2}x}{1-sinx}$=1+sinx，由1-sinx≠0，解得x≠2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，其定義域?yàn)閧x|x≠2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z}，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，因此是非奇非偶函數(shù)；
（4）f（x）=$\sqrt{1-cosx}$+$\sqrt{cosx-1}$，由$\left\{\begin{array}{l}{1-cosx≥0}\\{cosx-1≥0}\end{array}\right.$，化為cosx=1，解得x=2kπ（k∈Z），其定義域{x|x=2kπ（k∈Z）}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）=0，因此既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、函數(shù)奇偶性的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．