Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=2，PA=BC=4，M是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面AMC⊥平面PAB；
（2）求四面體P-MAB的體積．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，過A作BC的垂線為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得到$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，由此能證明平面AMC⊥平面PAB．
（2）求出M到平面PAB的距離，利用三棱錐的體積公式，即可求四面體P-MAB的體積．

解答 （1）證明：以A為原點(diǎn)，過A作BC的垂線為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（0，0，0），P（0，0，4），B（$\sqrt{3}$，-1，0），C（$\sqrt{3}$，3，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，4），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，3，0），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3-3+0=0，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，∴AP⊥AC，AB⊥AC，
∵AB∩AP=P，∴AC⊥平面PAB，
∵AC?平面AMC，∴平面AMC⊥平面PAB．
（2）解：設(shè)D到平面PAB的距離為ADsin60°=$\sqrt{3}$，
∴M到平面PAB的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴四面體P-MAB的體積V=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AB•PA•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查四面體P-MAB的體積，是中檔題，正確運(yùn)用向量法是關(guān)鍵．