Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2ⁿ-n，等差數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃-1成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，當(dāng)n≥2時(shí)求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和A_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2ⁿ-n，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n．由T₃=15=3b₂，解得b₂=5，設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃-1成等比數(shù)列，$（{a}_{2}+_{2}）^{2}$=（a₁+b₁）（a₃+b₃-1），解得d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出b_n．
（II）${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{（2n+1）（{2}^{n-1}-1），n≥2}\end{array}\right.$．設(shè)G_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1，利用“錯(cuò)位相減法”可得G_n，即可得出A_n．

解答 解：（I）∵S_n=2ⁿ-n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2-1=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-n-[2^n-1-（n-1）]=2^n-1-1，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}-1，n≥2}\end{array}\right.$．
∵T₃=15=b₁+b₂+b₃=3b₂，解得b₂=5，
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃-1成等比數(shù)列，
∴$（{a}_{2}+_{2}）^{2}$=（a₁+b₁）（a₃+b₃-1），
∴（1+5）²=（1+5-d）（3+5+d-1），化為d²+d-6=0，解得d=2或-3．
又等差數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)，
∴d=2．
∴b_n=b₂+（n-2）d=5+2（n-2）=2n+1．
（II）${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{（2n+1）（{2}^{n-1}-1），n≥2}\end{array}\right.$．
設(shè)G_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1，
則2G_n=3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）×2ⁿ，
∴-G_n=3+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n+1）•2ⁿ=1+2+2²+…+2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴G_n=（2n-1）•2ⁿ+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，A_n=（2n-1）•2ⁿ+1-$\frac{（n-1）（5+2n+1）}{2}$
=（2n-1）•2ⁿ+4-n²-2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．