Question

   設(shè)f(n)是定義在N*上的增函數(shù)，f(4)＝5，且滿足：

①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．

（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；

（2）求f(n)的表達式．

Answer 1

解：（1）因為f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，則f(1)＝2．

    因為f(n)是單調(diào)增函數(shù)，

    所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．

    因為f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4．                

（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．

    證明：因為f (n)單調(diào)遞增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，

    所以f (n+1)≥f (n)+1．

    首先證明：f (n)≥n+1．

    因為f (1)＝2，所以n＝1時，命題成立．

    假設(shè)n=k(k≥1)時命題成立，即f(k)≥k+1．

    則f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1時，命題也成立．

    綜上，f (n)≥n+1．                                   

    由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，

所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．

下面證明：f (n)＝n+1．

因為f (1)＝2，所以n＝1時，命題成立．

假設(shè)n=k(k≥1)時命題成立，即f(k)＝k+1，

則f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，

又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．

即n＝k+1時，命題也成立．

所以f (n)＝n+1                                   

解法二：由f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝5，猜想f(n)＝n＋1．  

下面用數(shù)學歸納法證明：

①當n＝1，2，3，4時，命題成立．

②假設(shè)當n≤k (k≥4)時，命題成立，下面討論n＝k＋1的情形．

      

       

          又k＋1＝f(k)＜f(k＋1)＜f(k＋2)＝k＋3．

          所以f(k＋1)＝k＋2

          因此不論k的奇偶性如何，總有f(k＋1)＝k＋2，即n＝k＋1時，命題也成立

          于是對一切n∈N*，f(n)＝n＋1．                          

     解法三：因為f (n)單調(diào)遞增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，

所以f (n+1)≥f (n)+1，又f(1)＝2，所以f (n)≥n+1                                    

由已知可得：f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)

而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1

所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即：f(n+1)≤3 f (n)－2n－1 

             或者f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1)

             所以有f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1)

                              ≤3²(f (n－1)－n)

                              ≤3³(f (n－2)－n＋1)

                                   ……

                              ≤3ⁿ(f (1)－2)＝0

             于是f(n+1)≤n＋2

               又f (n＋1)≥n+2

             所以f(n+1)＝n＋2，又f(1)＝2

             所以f(n)＝n＋1