Question

14．若橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，則雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用橢圓的離心率求出ab關(guān)系式，然后求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
即：$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
在則雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$中，由$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{7}{4}$，∴e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查一的簡單性質(zhì)以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，圓錐曲線的綜合應用，是基礎(chǔ)題．