Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的正整數(shù)n，S_n＞2λ-$\frac{1}{3}$恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意和數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系式，求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，即可求出a_n；
（2）把a(bǔ)_n代入b_n=a_na_n+1化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出S_n，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求出S_n的最小值，由恒成立的條件列出不等式，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，則a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}$，
則$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n-1}}=\frac{（{n-1）}^{2}}{2}$，
兩式相減得，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{{（n-1）}^{2}}{2}$=$\frac{2n-1}{2}$，即a_n=$\frac{2}{2n-1}$，
當(dāng)n=1時(shí)，也符合上式，則a_n=$\frac{2}{2n-1}$；
（2）由（1）得，b_n=a_na_n+1=$\frac{2}{2n-1}•\frac{2}{2（n+1）-1}$
=$\frac{4}{（2n-1）（2n+1）}$=2（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
所以S_n=2[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$）…+（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）]
=2（1-$\frac{1}{2n+1}$），
則n越大，$\frac{1}{2n+1}$越小，S_n越大，
即當(dāng)n=1時(shí)，S_n最小為S₁=$\frac{4}{3}$，
因?yàn)閷?duì)于任意的正整數(shù)n，S_n＞2λ-$\frac{1}{3}$恒成立，
所以$\frac{4}{3}$＞2λ-$\frac{1}{3}$，解得$λ＜\frac{5}{6}$，
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合的題目，考查數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系式，裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．