Question

15．如圖所示，已知△AOB中，A（0，5），O（0，0），B（4，3），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，AD與BC相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以求出向量$\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OD}$的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程便可分別求出直線AD，BC的方程，聯(lián)立這兩個方程便可解出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}=\frac{1}{4}（0，5）=（0，\frac{5}{4}）$，$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}（4，3）=（2，\frac{3}{2}）$；
∴$C（0，\frac{5}{4}），D（2，\frac{3}{2}）$；
∴直線AD的方程為$\frac{x-0}{2-0}=\frac{y-5}{\frac{3}{2}-5}$，即$y=-\frac{7}{4}x+5$；
直線BC的方程為$\frac{x-0}{4-0}=\frac{y-\frac{5}{4}}{3-\frac{5}{4}}$，即$y=\frac{7}{16}x+\frac{5}{4}$；
∴解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{7}{4}x+5}\\{y=\frac{7}{16}x+\frac{5}{4}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{7}}\\{y=2}\end{array}\right.$；
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為$（\frac{12}{7}，2）$．

點(diǎn)評 考查向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，以及起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，直線的兩點(diǎn)式方程，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)和兩直線方程形成方程組解的關(guān)系．