【題目】已知: =(2sinx,2cosx), =(cosx,﹣cosx),f(x)=
(1)若 共線,且x∈( ,π),求x的值;
(2)求函數(shù)f(x)的周期;
(3)若對(duì)任意x∈[0, ]不等式m﹣2≤f(x)≤m+ 恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵x∈( ,π),∴cosx≠0

又∵ 共線∴ = 即tanx=﹣1

∵x∈( ,π),∴x= =


(2)解:f(x)= =2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1

= (sin2x ﹣cos2x )= sin(2x﹣ )﹣1

故函數(shù)f(x)的周期T=


(3)解:∵0

≤sin(2x﹣ )≤1

∴﹣2 ﹣1 ,

即﹣2

要使不等式m﹣2≤f(x) ,

對(duì)任意x ]上恒成立,

必須且只需 ,

即﹣1≤m≤0.


【解析】(1)運(yùn)用共線的向量的性質(zhì)得出 = 即tanx=﹣1,結(jié)合x∈( ,π),求解x的值.(2)化簡(jiǎn)得出f(x)= sin(2x﹣ )﹣1,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得出周期,T═ (3)根據(jù)x的范圍得出 ≤sin(2x﹣ )≤1,確定﹣2 ,利用最大值,最小值問題求解得出只需 成立即可.

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(3)證明: .

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