【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,正三角形PAC所在平面與等腰三角形ABC所在平面互相垂直,AB=BC,O是AC中點(diǎn),OH⊥PC于H.
(1)證明:PC⊥平面BOH;
(2)若,求二面角A-BH-O的余弦值.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】
(1)先證明平面,得到,結(jié)合已知,證得平面.(2)以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.
解:(1)∵AB=BC,O是AC中點(diǎn),
∴ BO⊥AC,
又平面PAC⊥平面ABC,
且平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴ BO⊥平面PAC,
∴ BO⊥PC,又OH⊥PC,BO∩OH=O,
∴ PC⊥平面BOH;
(2)易知PO⊥AC,又BO⊥平面PAC,
如圖,以O為原點(diǎn),OB所在的直線為x軸,建立空間直角
坐標(biāo)系O - xyz,由易知,OC=2,
,,
∴ ,,,,
,,,
設(shè)平面ABH的法向量為,
則, ∴,取x=2,得,
由(1)知是平面BHO的法向量,易知,
設(shè)二面角A-BH-O的大小為,顯然為銳角,
則 ,
∴ 二面角A-BH-O的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為發(fā)揮體育在核心素養(yǎng)時代的獨(dú)特育人價值,越來越多的中學(xué)已將某些體育項(xiàng)目納入到學(xué)生的必修課程,甚至關(guān)系到是否能拿到畢業(yè)證.某中學(xué)計劃在高一年級開設(shè)游泳課程,為了解學(xué)生對游泳的興趣,某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組隨機(jī)從該校高一年級學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查,其中男生60人,且抽取的男生中對游泳有興趣的占,而抽取的女生中有15人表示對游泳沒有興趣.
(1)試完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“對游泳是否有興趣與性別有關(guān)”?
有興趣 | 沒興趣 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的學(xué)生,其中3名對游泳有興趣,現(xiàn)在從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至少有2人對游泳有興趣的概率.
(3)該研究性學(xué)習(xí)小組在調(diào)查中發(fā)現(xiàn),對游泳有興趣的學(xué)生中有部分曾在市級和市級以上游泳比賽中獲獎,如下表所示.若從高一(8)班和高一(9)班獲獎學(xué)生中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查,記選中的4人中市級以上游泳比賽獲獎的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
班級 | |||||||||||
市級比賽 獲獎人數(shù) | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | |
市級以上比賽獲獎人數(shù) | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |
0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:的離心率為,橢圓上一點(diǎn)到左右兩個焦點(diǎn)、的距離之和是4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合,若,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年寒假是特殊的寒假,因?yàn)榭箵粢咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上在線學(xué)習(xí),為了研究學(xué)生在網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況,某學(xué)校在網(wǎng)上隨機(jī)抽取120名學(xué)生對線上教育進(jìn)行調(diào)查,其中男生與女生的人數(shù)之比為11∶13,其中男生30人對于線上教育滿意,女生中有15名表示對線上教育不滿意.
(1)完成列聯(lián)表,并回答能否有99%的把握認(rèn)為對“線上教育是否滿意與性別有關(guān)”;
滿意 | 不滿意 | 總計 | |
男生 | 30 | ||
女生 | 15 | ||
合計 | 120 |
(2)從被調(diào)查的對線上教育滿意的學(xué)生中,利用分層抽樣抽取8名學(xué)生,再在8名學(xué)生中抽取3名學(xué)生,作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)介紹,其中抽取男生的個數(shù)為,求出的分布列及期望值.
參考公式:附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,過極點(diǎn)的兩射線、相互垂直,與曲線C分別相交于A、B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)O),且的傾斜角為銳角.
(1)求曲線C和射線的極坐標(biāo)方程;
(2)求△OAB的面積的最小值,并求此時的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓()經(jīng)過與兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),橢圓上一點(diǎn)滿足,求證: 為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過且與軸垂直的直線被橢圓和圓截得的弦長分別為2和.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知動直線與拋物線:相切(切點(diǎn)異于原點(diǎn)),且與橢圓相交于,兩點(diǎn),問:橢圓上是否存在點(diǎn),使得,若存在求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[2019·清遠(yuǎn)期末]一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān),現(xiàn)收集了4組觀測數(shù)據(jù)列于下表中,根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如下:
溫度 | 20 | 25 | 30 | 35 |
產(chǎn)卵數(shù)/個 | 5 | 20 | 100 | 325 |
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(數(shù)字保留2位小數(shù));
(3)要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50,則溫度控制在多少以下?(最后結(jié)果保留到整數(shù))
參考數(shù)據(jù):,,,,,,,,,,
5 | 20 | 100 | 325 | |
1.61 | 3 | 4.61 | 5.78 |
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