Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，其中a為常數(shù)．
（1）若0＜a＜1，求證：f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）存在三個不同的零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（$\frac{{a}^{2}}{2}$），構(gòu)造函數(shù)g（a）=2lna-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$-ln2，利用導(dǎo)數(shù)求得g（a）＞g（1）=2-$\frac{1}{2}$-ln2＞0，問題得以證明；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分a≤0，a≥$\frac{1}{2}$，0＜a＜$\frac{1}{2}$三種情況討論f（x）的零點(diǎn)的個數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，
∴f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）=ln$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$=2lna-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$-ln2，
令g（a）=2lna-$\frac{{a}^{3}}{2}$+$\frac{2}{a}$-ln2，
∴g′（a）=$\frac{2}{a}$-$\frac{2}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{2}$=$\frac{-3{a}^{4}+4（a-1）}{2{a}^{2}}$，
∴a∈（0，1）時(shí)，g'（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，
∴g（a）＞g（1）=2-$\frac{1}{2}$-ln2＞0，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0；
（2）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-a{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，
∴-ax²+x-a=0，
∵函數(shù)f（x）存在不同的零點(diǎn)，
∴△=1-4a²＞0，
解得$-\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$
①當(dāng)a≤0時(shí)，在（0，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）至多只有一個零點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）遞減，
∴f（x）至多只有一個零點(diǎn)，不合題意；
③當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，令f′（x）=0，得，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$
此時(shí)，f（x）在（0，x₁）上遞減，（x₁，x₂）上遞增，（x₂，+∞）上遞減，
∴f（x）至多有三個零點(diǎn)．
∵f（x）在（x₁，1）遞增，∴f（x₁）＜f（1）=0，
又∵f（$\frac{{a}^{2}}{2}$）＞0，
∴?x₀∈（$\frac{{a}^{2}}{2}$，x₁），使得f（x₀）=0，
又f（$\frac{1}{{x}_{0}}$）=-f（x₀）=0，f（1）=0，
∴恰有三個不同零點(diǎn)：x₀，1，$\frac{1}{{x}_{0}}$
∴函數(shù)f（x）存在三個不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，屬于難題．